Marina Hartono

Senin, 09 Januari 2012

DETERMINAN MATRIKS

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd> </dl> </dd> </dl> <span id=$ untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = – 2 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A_3×3

A = – 4 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8

Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3×3

A = $\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}$

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

$\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}$

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}$

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

$det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

Contoh

$\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$ = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
$X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}$ dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:
bentuk matrik A dan b

A =

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = $\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₂ = $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}$

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,…,E_r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,
R=E_r…E₂ E₁ Adan,
det(R)=det(E_r)…det(E₂)det(E₁)det(E_A)Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\ \end{bmatrix}” /> <h3>Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx</h3> dalam sistem aljabar linear sering ditemukan <pre> Ax = λx ; dimana λ adalah skalar</pre> sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi <pre> (λI - A) x = 0 </pre> contoh: diketahui persamaan linear <pre>x<span class=$ 1+3x2= λx1 4x1+2x2=λx2
dapat ditulis dalam bentuk
$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

= λ

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$
yang kemudian dapat diubah

A = $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ dan x = $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

λ

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$
sehingga didapat bentuk

λ I - A =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$

= 0

atau λ^2 – 3λ – 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂ = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I – A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
$\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$
dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁ = t

x =

DETERMINAN MATRIKS

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd> </dl> </dd> </dl> <span id=$ untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = – 2 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

A = – 4 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8

Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3×3

A = $\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}$

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

$\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}$

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}$

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

$det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

Contoh

$\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$ = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:
bentuk matrik A dan b

A =

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

Tes Determinan untuk Invertibilitas

= λ

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$
yang kemudian dapat diubah

A = $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ dan x = $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

λ

λ I - A =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$

= 0

x =

Rabu, 04 Januari 2012

Mencegah Virus Dari Flashdisk Menginfeksi Komputer Kita

Flashdisk merupakan salah satu media yang paling banyak digunakan dalam penyebaran virus.
Pada waktu kita memasukkan flashdisk ke USB komputer kita, maka secara default windows akan langsung membuka task baru dengan fungsi Auto play.

Banyak sekali virus yang menggunakan fungsi Auto Play ini untuk menyebarkan diri mereka dan kemudian menginfeksi komputer kita.
Disini kita akan berusaha untuk meminimalisir virus masuk ke dalam komputer kita dengan cara meng-nonaktifkan fungsi Auto Play tersebut.
Berikut caranya :
- Klik Start –> run “gpedit.msc”
- Pilih Computer Configuration –> Administrative Templates
- Lalu Pilih System, cari file Turn Off Auto Play dan klik double
- Lalu centang pilihan enabled dan Turn Off Auto Play pilih All Drive
- Lalu klik OK, Tutup dan restart

Cara lain untuk meminimalisir virus masuk ke dalam komputer adalah dengan cara mengaktifkan user Guest dan selalu login dengan user guest tersebut.
Karena dengan user Guest maka secara tidak langsung kita akan mematikan fungsi registry, karena Virus akan selalu manginfeksi file registry ini dan merubah value di dalamnya.
Anda juga dapat meminimalisir virus masuk ke dalam komputer dengan selalu mengupdate anti virus secara rutin.
http://eritristiyanto.wordpress.com/2010/02/05/mencegah-virus-dari-flashdisk-menginfeksi-komputer-kita/

Senin, 02 Januari 2012

Cara Mencegah Virus: Mematikan Fitur AutoRun Mencegah 50% Windows Malware

Menurut Security Intelligence Report dari Microsoft, fitur AutoRun pada Windows yang secara otomatis mengakses dan menjalankan file ketika pengguna mencolokkan perangkat ke USB atau melakukan koneksi ke jaringan menyebabkan hampir setengah dari infeksi malware. Oleh karena itu cara mencegah virus malware dengan mematikan fitur autorun adalah cara yang efektif.

Malware, singkatan dari Malicious Software, adalah istilah umum yang digunakan oleh profesional komputer untuk mengartikan sebuah program (code, scripts, active content, dan software lainnya) yang didesain untuk menggangu atau menolak suatu operasi, mengumpulkan informasi yang mengarah pada hilangnya privasi atau eksploitasi, mendapatkan akses ke system resources, dan tindakan penyalahgunaan lainnya.
Malware adalah infeksi yang tidak memerlukan user-input dari Anda, jadi Anda tidak tahu-menahu dan bukanlah salah Anda apabila komputer milik Anda terinfeksi. Cara mencegah virus malware dengan mematikan autorun akan menambah beberapa proses kerja dimana Anda harus melakukannya secara manual. Tetapi apabila Anda tidak ingin komputer Anda terinfeksi, proses kerja tambahan tersebut worth it untuk mengurangi 50% ancaman malware.
Cara mencegah virus dengan mematikan fitur AutoRun termudah adalah dengan download free utility seperti Disable AutoRun atau Panda USB Vaccine, karena kedua aplikasi tersebut memang dibuat secara spesifik untuk mematikan fitur AutoRun. Atau apabila Anda tidak keberatan mengotak-atik registry Windows, berikut cara melakukannya:

Cara paling sederhana dan paling efektif untuk mematikan fitur registry adalah dengan registry hack berikut:

REGEDIT4
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\Windows NT\CurrentVersion\IniFileMapping\Autorun.inf]
@="@SYS:DoesNotExist"

Untuk menggunakan metode ini, buka Notepad dan copy/paste teks berikut:

REGEDIT4
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\Windows NT\CurrentVersion\IniFileMapping\Autorun.inf]
@="@SYS:DoesNotExist"
Simpan file dengan nama .reg. (Anda harus memastikan untuk mengganti "Save File as Type" menjadi "All Files" sebelum menyimpan. Apabila Anda tidak melakukannya, Windows akan menyimpannya dalam format .txt meskipun Anda sudah menuliskan .reg.

Pilih file yang baru saja Anda simpan tersebut dan double-click untuk menjalankannya. Anda akan mendapat pertanyaan apakah Anda ingin menambah data ke registry. Klik “Yes” untuk melakukan modifikasi.

Metode diatas mematikan request pada autorun.inf dan berfungsi bagi Windows XP Home atau Pro, serta Windows Vista.
Berikut langkah Untuk Windows 7:

Klik tombol Start.
Pada bagian “Search Box”, ketik gpedit.msc kemudian tekan tombol enter.
Cari bagian Computer Configurations, Administrative Templates, Windows Components, AutoPlay Policies dan terakhir Turn Off AutoPlay.
Untuk menonaktifkan AutoPlay, beri tanda Enable kemudian klik tombol OK atau Apply.
Untuk mengaktifkan kembali, klik tombol Disable dan klik tombol OK.

Hal yang menarik lain dari laporan Microsoft ini adalah system Windows XP SP3 memiliki kemungkinan terinfeksi 10 kali lebih banyak daripada sistem Windows 7 SP1 64-bit, dan 6 kali lebih banyak daripada system Windows 7 32-bit. Hal ini adalah salah satu alasan penting mengapa Anda perlu untuk upgrade ke Windows 7. [RY]
http://portal.paseban.com/article/3262/cara-mencegah-virus

Marina Hartono

Senin, 09 Januari 2012

DETERMINAN MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Adjoin Matriks 3 x 3

Determinan Matriks Segitiga Atas

Metode Cramer

Tes Determinan untuk Invertibilitas

DETERMINAN MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Adjoin Matriks 3 x 3

Determinan Matriks Segitiga Atas

Metode Cramer

Tes Determinan untuk Invertibilitas

Rabu, 04 Januari 2012

Mencegah Virus Dari Flashdisk Menginfeksi Komputer Kita

Senin, 02 Januari 2012

Cara Mencegah Virus: Mematikan Fitur AutoRun Mencegah 50% Windows Malware

Blog partner

Blog Archive

About Me

Pengikut